1.
(I) Calcule la fuerza de gravedad sobre una nave espacial a 2.00 radios
terrestres sobre la superficie de la Tierra, si su masa es de 1480 kg.
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2.
(I) Calcule la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la
Luna. El radio de la Luna es de 1.74 X 106 m y su masa es de 7.35 X 1022
kg.
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3.
(I) Un planeta hipotético tiene un radio 2.3 veces el de la Tierra,
pero tiene la misma masa que ésta. ¿Cuál sería la aceleración debida a
la gravedad cerca de la superficie del planeta hipotético?
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4.
(I) Un planeta hipotético tiene una masa 1.80 veces la de la Tierra,
pero el mismo radio que ésta. ¿Qué valor tendría g cerca de la
superficie del planeta hipotético?
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5. (I) Si usted duplicara la masa y triplicara el radio de un planeta, ¿por qué factor cambiaría g en su superficie?
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6.
(II) Calcule el valor efectivo de la aceleración de la gravedad, g, en
a) 6400 m y b) 6400 km, por arriba de la superficie terrestre.
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7.
(II) Usted le explica a sus amigos el porqué los astronautas no sienten
peso al orbitar en el transbordador espacial, y responden que ellos
pensaban que se debía sólo a que la gravedad era mucho más débil a esa
altitud. Convénzalos de que no es así, calculando cuánto más débil es la
gravedad a 300 km sobre la superficie terrestre.
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8.
(II) Cada algunos cientos de años, la mayoría de los planetas se
alinean del mismo lado del Sol. Calcule la fuerza total sobre la Tierra
debida a Venus, Júpiter y Saturno, suponiendo que los cuatro planetas
están en línea (figura 6-24). Las masas son MV = 0.815 ME, MJ = 318 ME,
MSat = 95.1 ME; y las distancias medias de los cuatro planetas al Sol
son 108, 150, 778 y 1430 millones de kilómetros. ¿Qué fracción es esta
fuerza de la fuerza que ejerce solamente el Sol sobre la Tierra?
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9.
(II) Cuatro esferas de 8.5 kg están localizadas en las esquinas de un
cuadrado de 0.80 m de lado. Calcule la magnitud y el sentido de la
fuerza gravitacional ejercida sobre una esfera debida a las otras tres.
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10.
(II) Dos objetos se atraen gravitacionalmente entre sí con una fuerza
de 2.5 X 10-10 N cuando están separados 0.25 m. Su masa total es de 4.0
kg. Encuentre sus masas individuales.
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11.
(II) Cuatro masas están colocadas como se muestra en la figura 6-25.
Determine las componentes x y y de la fuerza gravitacional sobre la masa
localizada en el origen (m). Escriba la fuerza en notación vectorial
(î, ĵ).
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12.
(II) Estime la aceleración debida a la gravedad en la superficie de
Europa (una de las lunas de Júpiter), dado que su masa es 4.9 X 1022 kg y
suponga que tiene la misma densidad que la Tierra.
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13.
(II) Suponga que la masa de la Tierra se duplica, pero su densidad se
mantiene constante al igual que su forma esférica. ¿Cómo cambiaría el
peso de los objetos en la superficie terrestre?
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14.
(II) Dado que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte
es 0.38 la de la Tierra y que el radio de Marte es de 3400 km, determine
la masa de Marte.
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15.
(II) ¿A qué distancia de la Tierra una nave espacial que viaja
directamente de la Tierra a la Luna experimentará cero fuerza neta,
debido a que ahí la Tierra y la Luna ejercen fuerzas iguales y opuestas?
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16.
(II) Determine la masa del Sol usando el valor conocido para el periodo
de la Tierra y su distancia desde el Sol. [Sugerencia: La fuerza sobre
la Tierra debida al Sol se relaciona con la aceleración centrípeta anual
de la Tierra]. Compare su respuesta con la obtenida usando las leyes de
Kepler, ejemplo 6-9].
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17.
(II) Dos masas puntuales idénticas, cada una con masa M, siempre están
separadas por una distancia de 2R. Una tercera masa m está entonces
colocada a una distancia x a lo largo de la bisectriz perpendicular de
las dos masas originales, como se muestra en la figura 6-26. Demuestre
que la fuerza gravitacional sobre la tercera masa está dirigida hacia
adentro a lo largo de la bisectriz perpendicular y que tiene una
magnitud de
2GMmx
F = .
(x2 + R2)3/2
Get solution
18.
(II) Una masa M tiene forma de anillo con radio r. Se coloca una masa
pequeña m a una distancia x a lo largo del eje del anillo, como se
muestra en la figura 6-27. Demuestre que la fuerza gravitacional sobre
la masa m debida al anillo está dirigida hacia adentro del eje del
anillo y tiene una magnitud de
GMmx
F = .
(x2 + r2)3/2
[Sugerencia: Piense que el anillo está formado por muchas masas
puntuales pequeñas dM; calcule las
fuerzas debidas a cada dM y utilice la simetría].
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19. (III) a) Use el desarrollo binomial
n(n – 1)
(1 ± x)n = 1 ± nx + x2± …
2
para demostrar que el valor de g se altera por aproximadamente
Δr
Δg ≈ –2g
rE
a una altura Δr sobre la superficie terrestre, donde rE es el radio de la Tierra, siempre que Δr< Get solution
20.
(III) El centro de un yacimiento esférico de petróleo de 1.00 km de
diámetro está a 1.00 km por debajo de la superficie terrestre. Estime en
qué porcentaje g directamente arriba del yacimiento diferiría del valor
esperado de g para una Tierra uniforme? Suponga que la densidad del
petróleo es 8.0 X 102 kg/m3.
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21.
(III) Determine la magnitud y el sentido del valor efectivo de g una
latitud de 45° sobre la Tierra. Suponga que nuestro planeta es una
esfera en rotación.
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22.
(III) Se puede demostrar (Apéndice D) que para una esfera uniforme la
fuerza de gravedad en un punto dentro de la esfera depende sólo de la
masa encerrada por una esfera concéntrica que pasa por ese punto. Se
cancela la fuerza neta de la gravedad debida a los puntos que están
afuera del radio del punto. ¿Qué tan lejos tendría que taladrar en la
Tierra para alcanzar un punto donde su peso se redujera en 5.0%?
Aproxime la Tierra como una esfera uniforme.
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23.
(I) El transbordador espacial suelta un satélite en una órbita circular
a 680 km por arriba de la Tierra. ¿Qué tan rápido debe estar moviéndose
el transbordador (con respecto a la Tierra) cuando suelta el satélite?
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24.
(I) Calcule la rapidez de un satélite que se mueve en una órbita
circular estable alrededor de la Tierra a una altitud de 5800 km.
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25.
(II) Usted sabe que su masa es de 65 kg, pero cuando se sube a una
báscula en un elevador, ésta indica que su masa es de 76 kg. ¿Cuál es la
aceleración del elevador y en qué dirección?
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26.
(II) Un simio de 13.0 kg se cuelga de una cuerda suspendida del techo
de un elevador. La cuerda puede resistir una tensión de 185 N y se rompe
cuando el elevador acelera. ¿Cuál fue la aceleración mínima del
elevador (magnitud y sentido)?
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27.
(II) Calcule el periodo de un satélite en órbita alrededor de la Luna, a
120 km por arriba de la superficie lunar. Desprecie los efectos de la
Tierra. El radio de la Luna es de 1740 km.
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28. (II) Dos satélites orbitan la Tierra a altitudes de 5000 km y 15,000 km. ¿Qué satélite gira más rápido y en qué factor?
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29.
(II) ¿Qué lectura dará una báscula de resorte para el peso de una mujer
de 53 kg en un elevador que se mueve a) hacia arriba con rapidez
constante de 5.0 m/s, b) hacia abajo con rapidez constante de 5.0 m/s,
c) hacia arriba con aceleración de 0.33 g, d) hacia abajo con
aceleración de 0.33 g, y e) en caída libre?
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30.
(II) Determine el tiempo que le toma a un satélite orbitar la Tierra en
una trayectoria circular “cercana a la Tierra”. Una órbita “cercana a
la Tierra” es la que está a una altitud muy pequeña comparada con el
radio terrestre. [Sugerencia: Usted puede considerar la aceleración de
la gravedad como esencialmente igual a la que se tiene en la
superficie]. ¿Su resultado depende de la masa del satélite?
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31.
(II) ¿Cuál es el peso aparente de un astronauta de 75 kg a 2500 km del
centro de la Luna terrestre en un vehículo espacial que a) se mueve a
velocidad constante, y b) que acelera hacia la Luna a 2.3 m/s2? Indique
la dirección y sentido del vector en cada caso.
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32.
(II) Una rueda de la fortuna de 22.0 m de diámetro gira una vez cada
12.5 segundos (véase la figura 5-19). ¿Cuál es la razón del peso
aparente de una persona con su peso real a) en la cima y b) en la parte
inferior del recorrido?
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33.
(II) Dos estrellas de igual masa mantienen una distancia constante
entre sí de 8.0 X 1011 m y giran alrededor de un punto a la mitad de
esta distancia a razón de una revolución cada 12.6 años. a) ¿Por qué no
se estrellan una contra la otra debido a la fuerza gravitacional entre
sí? b) ¿Cuál debe ser la masa de cada estrella?
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34.
(III) a) Demuestre que si un satélite órbita muy cerca de la superficie
de un planeta con periodo T, la densidad (= masa por volumen unitario)
del planeta es r = m/V = 3∏/GT2. b) Estime la densidad de la Tierra,
dado que un satélite cerca de su superficie órbita con un periodo de
aproximadamente 85 minutos. Considere la Tierra como una esfera
uniforme.
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35.
(III) Tres cuerpos con masas idénticas M forman los vértices de un
triángulo equilátero de lado ℓ y giran en órbitas circulares con
respecto al centro del triángulo. Se mantienen en su posición gracias a
su gravitación mutua. ¿Cuál será la rapidez de cada uno?
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36.
(III) Un plano inclinado, fijo al interior de un elevador, forma un
ángulo de 32° con el piso. Una masa m se desliza sobre el plano sin
fricción. ¿Cuál es su aceleración relativa al plano si el elevador a)
acelera hacia arriba a 0.50 g, b) acelera hacia abajo a 0.50 g, c) cae
libremente, y d) se mueve hacia arriba con rapidez constante?
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37.
(I) Use las leyes de Kepler y el periodo de la Luna (27.4 días) para
determinar el periodo de un satélite artificial en órbita muy cercana a
la superficie terrestre.
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38. (I) Determine la masa de la Tierra a partir del periodo y la distancia conocidos de la Luna.
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39.
(I) Neptuno está a una distancia promedio de 4.5 X 109 km del Sol.
Estime la duración del año de Neptuno usando el hecho de que la Tierra
está en promedio a 1.50 X 108 km del Sol.
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40.
(II) El planeta A y el planeta B están en órbitas circulares alrededor
de una estrella distante. El planeta A está 9.0 veces más lejos de la
estrella que el planeta B. ¿Cuál es la razón de sus rapideces vA/vB?
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41.
(II) Nuestro Sol gira alrededor del centro de la Galaxia (mG ≈ 4 X 1041
kg) a una distancia de aproximadamente 3 X 104 años-luz [1 año-luz =
(3.00 X 108 m/s).(3.16 X 107 s/año).(1.00 año)]. ¿Cuál es el periodo del
movimiento orbital del Sol alrededor del centro de la Galaxia?
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42.
(II) La tabla 6-3 da la distancia media, el periodo y la masa de las
cuatro lunas más grandes de Júpiter (descubiertas por Galileo en 1609).
a) Determine la masa de Júpiter usando los datos para Io. b) Calcule la
masa de Júpiter usando los datos para cada una de las otras tres lunas.
¿Los resultados son consistentes?
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43.
(II) Determine la distancia media de Júpiter a cada una de sus lunas
usando la tercera ley de Kepler. Utilice la distancia de Io y los
periodos dados en la tabla 6-3. Compare sus resultados con los valores
de la tabla.
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44.
(II) El cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter consiste en
numerosos fragmentos (que algunos científicos creen que formaban parte
de un planeta que alguna vez orbitó alrededor del Sol pero que fue
destruido). a) Si el radio orbital medio del cinturón de asteroides
(donde habría estado el planeta) está aproximadamente 3 veces más lejos
del Sol que la Tierra, ¿qué tiempo le tomaba a dicho planeta hipotético
orbitar el Sol? b) ¿Podemos usar estos datos para deducir la masa de tal
planeta?
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45.
(III) El cometa Hale-Bopp tiene un periodo de 2400 años. a) ¿Cuál es su
distancia media al Sol? b) En su acercamiento más próximo, el cometa
está aproximadamente a 1 AU del Sol (1 AU = distancia de la Tierra al
Sol). ¿Cuál es su alejamiento máximo? c) ¿Cuál es la razón de su rapidez
en el punto más cercano con su rapidez en el punto más alejado de la
órbita?
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46.
(III) a) Use la segunda ley de Kepler para demostrar que la razón de
las rapideces de un planeta en sus puntos más cercano y más alejado al
Sol es igual a la razón inversa de las distancias cercana y lejana:
vN/vF = dF/dN. b) Dado que la distancia de la Tierra al Sol varía entre
1.47 a 1.52 X 1011 m, determine las velocidades mínima y máxima de la
Tierra en su órbita alrededor del Sol.
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47.
(III) Los periodos orbitales T y las distancias orbitales medias r para
las cuatro lunas más grandes de Júpiter se muestran en la tabla 6-3, de
la página anterior. a) Empezando con la tercera ley de Kepler en la
forma
4∏2
T2 = r3,
GmJ
donde mJ es la masa de Júpiter, muestre que esta relación implica que la
gráfica de log(T) contra log(r) corresponde a una línea recta. Explique
lo que la tercera ley de Kepler predice acerca de la pendiente y la
ordenada al origen de esta gráfica de línea recta. b) Usando los datos
de las cuatro lunas de Júpiter, grafique log(T) contra log(r) y
demuestre que se obtiene una línea recta. Determine la pendiente de esta
gráfica y compárela con el valor que usted esperaría si los datos
fueran consistentes con la tercera ley de Kepler. Determine la ordenada
al origen de la gráfica y úsela para calcular la masa de Júpiter.
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48.
(II) ¿Cuál es la magnitud y el sentido del campo gravitacional a media
distancia entre la Tierra y la Luna? Desprecie los efectos del Sol.
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49.
(II) a) ¿Cuál es el campo gravitacional en la superficie de la Tierra
debido al Sol? b) ¿Afecta esto el peso de usted en forma considerable?
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50.
(III) Dos partículas idénticas, cada una de masa m, están situadas
sobre el eje x en x = +x0 y x = x0. a) Determine una fórmula para el
campo gravitacional debido a estas dos partículas para puntos sobre el
eje y; es decir, escriba g como función de y, m, x0, etcétera. b) ¿En
qué punto(s) sobre el eje y la magnitud de es un máximo y cuál es su
valor ahí? [Sugerencia: Derive dg/dy].
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51. ¿A qué distancia de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad será de la mitad de lo que es en la superficie?
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52.
En la superficie de cierto planeta, la aceleración gravitacional g
tiene una magnitud de 12.0 m/s2. Una esfera de bronce de 13.0 kg es
transportada a ese planeta. ¿Cuáles son a) la masa de la esfera de
bronce sobre la Tierra y sobre el planeta, y b) el peso de la esfera de
bronce sobre la Tierra y sobre el planeta?
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53.
Una estrella enana blanca típica, que antes fue una estrella promedio
como nuestro Sol, pero que está ahora en las últimas etapas de su
evolución, tiene el tamaño de nuestra Luna aunque con la masa de nuestro
Sol. a) Estime la gravedad en la superficie de esta estrella. b)
¿Cuánto pesaría una persona de 65 kg en esa estrella? c) ¿Cuál sería la
rapidez de una pelota de béisbol que se suelta desde una altura de 1.0
al golpear la superficie?
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54.
¿Cuál es la distancia del centro de la Tierra a un punto fuera de ésta
donde la aceleración gravitacional debida a la Tierra sea de 1/10 de su
valor en la superficie terrestre?
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55.
Los anillos de Saturno están compuestos por trozos de hielo que orbitan
al planeta. El radio interno de los anillos es de 73,000 km; en tanto
que el radio exterior es de 170,000 km. Encuentre el periodo de un trozo
de hielo que orbita en el radio interior y el periodo de un trozo en el
radio exterior. Compare sus números con el periodo de rotación medio de
Saturno de 10 horas y 39 minutos. La masa de Saturno es de 5.7 X 1026
kg.
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56.
Durante una misión Apolo de aterrizaje lunar, el módulo de mando
continuó orbitando la Luna a una altitud de aproximadamente 100 km.
¿Cuánto tiempo le tomó al módulo dar una vuelta alrededor de la Luna?
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57.
El cometa Halley órbita al Sol aproximadamente una vez cada 76 años. Se
acerca mucho a la superficie solar en el punto más próximo de su órbita
(figura 6-28). ¿A qué distancia estará el cometa del Sol en su punto
más alejado? ¿El cometa se encuentra aún dentro del Sistema Solar? ¿Cuál
es la órbita planetaria más cercana a él en dicha posición?
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58.
El Sistema de Posicionamiento Global Navstar (GPS) utiliza un grupo de
24 satélites en órbita alrededor de la Tierra. Mediante la
“triangulación” y las señales transmitidas por esos satélites, la
posición de un receptor sobre la Tierra puede determinarse con una
precisión de unos cuantos centímetros. Las órbitas de los satélites
están distribuidas uniformemente alrededor de la Tierra, con cuatro
satélites en cada una de seis órbitas, permitiendo “posiciones fijas” de
navegación continua. Los satélites orbitan a una altitud aproximada de
11,000 millas náuticas [1 milla náutica = 1.852 km = 6076 pies]. a)
Determine la rapidez de cada satélite. b) Determine el periodo de cada
satélite.
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59.
Júpiter es aproximadamente 320 veces más masivo que la Tierra. Se
afirma entonces que una persona sería aplastada por la fuerza de la
gravedad de Júpiter, ya que la gente no puede resistir más de unas
cuantas g. Calcule el número de g que una persona experimentaría en el
ecuador de ese planeta. Use los siguientes datos astronómicos para
Júpiter: masa = 1.9 X 1027 kg, radio ecuatorial = 7.1 X 104 km, periodo
de rotación = 9 h 55 min. Tome en cuenta la aceleración centrípeta.
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60.
El Sol gira alrededor del centro de la Vía Láctea (nuestra galaxia)
(figura 6-29) a una distancia aproximada de 30,000 años-luz del centro
(1 año-luz = 9.5 X 1015 m). Si le toma aproximadamente 200 millones de
años efectuar una rotación, estime la masa de nuestra galaxia. Suponga
que la distribución de masa de nuestra galaxia está concentrada
principalmente en una esfera central uniforme. Si todas las estrellas
tuvieran aproximadamente la masa de nuestro Sol (2 X 1030 kg), ¿cuántas
estrellas habría en nuestra galaxia?
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61.
Los astrónomos han observado una estrella que por lo demás sería
normal, llamada S2, que orbita de cerca un cuerpo extremadamente masivo
pero pequeño en el centro de la Vía Láctea, llamado SgrA. S2 se mueve en
una órbita elíptica alrededor de SgrA con un periodo de 15.2 años y una
excentricidad e = 0.87 (figura 6-16). En 2002 S2 alcanzó su
aproximación más cercana a SgrA, una distancia de sólo 123 AU (1 AU =
1.50 X 1011 m es la distancia promedio de la Tierra al Sol). Determine
la masa M de SgrA, el cuerpo compacto masivo (que se cree que es un
agujero negro supermasivo) en el centro de nuestra galaxia. Calcule M en
kg y en términos de la masa de nuestro Sol.
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62.
Un satélite con masa de 5500 kg orbita la Tierra y tiene un periodo de
6200 s. Determine a) el radio de su órbita circular, b) la magnitud de
la fuerza gravitacional de la Tierra sobre el satélite y c) la altitud
del satélite.
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63.
Demuestre que la razón de cambio de su peso es
mEm
–2G v
r3
si usted viaja alejándose directamente de la Tierra con rapidez
constante v. Su masa es m y r es su distancia al centro de la Tierra en
cualquier momento.
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64.
Los astrónomos que usan el telescopio espacial Hubble dedujeron la
presencia de un núcleo extremadamente masivo en la distante galaxia M87,
tan denso que podría tratarse de un agujero negro (del cual ninguna luz
escapa). Ellos midieron la rapidez (780 km/s) de las nubes de gas que
orbitan el núcleo a una distancia de 60 años-luz (5.7 X 1017 m) de éste.
Deduzca la masa del núcleo y compárela con la masa de nuestro Sol.
Get solution
65.
Suponga que toda la masa de la Tierra estuviera compactada en una
pequeña pelota esférica. ¿Qué radio debería tener la esfera para que la
aceleración debida a la gravedad en la nueva superficie terrestre fuera
igual a la aceleración debida a la gravedad en la superficie del Sol?
Get solution
66.
Una plomada (una masa m que cuelga de un cordel) es desviada de la
vertical en un ángulo ө por la presencia de una montaña masiva cercana
(figura 6-30). a) Obtenga una fórmula aproximada para ө en términos de
la masa de la montaña mM, la distancia a su centro DM, y el radio y la
masa de la Tierra. b) Haga una estimación burda de la masa del monte
Everest, suponiendo que tiene la forma de un cono de 4000 m de altura y
una base de 4000 m de diámetro. Suponga que su masa por unidad de
volumen es de 3000 kg por m3. c) Estime el ángulo ө de la plomada, si
ésta se encuentra a 5 km del centro del Everest.
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67.
Un geólogo que busca petróleo encuentra que la gravedad en cierta
localidad es 2 partes en 107 más pequeña que el valor promedio. Suponga
que la localidad contiene petróleo localizado a 2000 m bajo la corteza
terrestre. Estime el tamaño del depósito, suponiendo que es esférico.
Considere que la densidad (masa por unidad de volumen) de la roca es de
3000 kg/m3 y la del petróleo es de 800 kg/m3.
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68.
Usted es un astronauta en el transbordador espacial que persigue un
satélite que necesita reparaciones. Usted se encuentra en una órbita
circular del mismo radio que el satélite (400 km por arriba de la
Tierra), pero 25 km detrás de él. a) ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar
al satélite, si usted reduce su radio orbital en 1.0 km? b) ¿Cuánto debe
usted reducir su radio orbital para alcanzarlo en 7.0 horas?
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69.
Un cuento de ciencia ficción describe un “planeta” artificial en forma
de una banda que rodea por completo un sol (figura 6-31). Sus habitantes
viven en la superficie interior (donde siempre es mediodía). Imagine
que ese sol es exactamente como el nuestro, que la distancia a la banda
es la misma que del Sol a la Tierra (por lo que el clima es templado), y
que la banda gira lo suficientemente rápido para producir una gravedad
aparente de 1 g como en la Tierra. ¿Cuál sería el periodo de revolución
de la banda, o el año de este planeta, en días terrestres?
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70. ¿Qué tan largo sería un día si la Tierra rotara tan rápido que los objetos en el ecuador aparentemente no tuvieran peso?
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71.
Un asteroide de masa m está en una órbita circular de radio r alrededor
del Sol con una rapidez v. Tiene un impacto con otro asteroide de masa M
y es lanzado a una nueva órbita circular con una rapidez de 1.5 v.
¿Cuál es el radio de la nueva órbita en términos de r?
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72.
Newton tenía la lista con los datos de la tabla 6-4 más los tamaños
relativos de tales cuerpos: en términos del radio del Sol R, los radios
de Júpiter y de la Tierra eran de 0.0997 R y 0.0109 R. Newton utilizó
esta información para determinar que la densidad promedio ƿ (=
masa/volumen) de Júpiter es ligeramente menor que la del Sol; mientras
que la densidad promedio de la Tierra es cuatro veces la del Sol. Así,
sin salir de su propio planeta Newton fue capaz de predecir que la
composición del Sol y de Júpiter es bastante diferente de la terrestre.
Realice los cálculos que hizo Newton y determine los valores de las
razones rJ/rSol y rE/rSol (los valores modernos de estas razones son
0.93 y 3.91, respectivamente).
Get solution
73.
Un satélite gira alrededor de un planeta esférico de masa desconocida
en una órbita circular cuyo radio es de 2.0 X 107 m. La magnitud de la
fuerza gravitacional ejercida sobre el satélite por el planeta es de 120
N. a) ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre
el satélite por el planeta si el radio de la órbita se incrementara a
3.0 X 107 m? b) Si el satélite da una vuelta completa al planeta cada
2.0 h en la órbita mayor, ¿cuál será la masa del planeta?
Get solution
74.
Una esfera uniforme tiene masa M y radio r. Se hace una cavidad
esférica (sin masa) de radio r/2 dentro de dicha esfera, como se muestra
en la figura 6-32 (la superficie de la cavidad pasa a través del centro
de la esfera y apenas toca la superficie exterior de la esfera). Los
centros de la esfera original y de la cavidad quedan en línea recta, la
cual define el eje x. ¿Con qué fuerza gravitacional la esfera hueca
atraerá un punto de masa m que está sobre el eje x a una distancia d del
centro de la esfera? [Sugerencia: Reste el efecto de la esfera “chica”
(la cavidad) del efecto de la esfera completa mayor].
Get solution
75.
En diferentes lugares de la Tierra, la fuerza gravitacional debida al
Sol y a la Luna depende de la distancia del punto en la Tierra al Sol o a
la Luna, y es esta variación lo que causa las mareas. Utilice los
valores que aparecen en los forros de este libro para la distancia
Tierra-Luna, REM, la distancia Tierra-Sol RES, la masa de la Luna MM, la
masa del Sol MS y el radio de la Tierra RE. a) Considere primero dos
trozos pequeños de la Tierra, cada uno con masa m, uno en el lado de la
Tierra más cercano a la Luna, y el otro en el lado más alejado de la
Luna. Demuestre que la razón de las fuerzas gravitacionales de la Luna
sobre esas dos masas es
Fcercana
= 1.0687.
Flejana M
b) Luego considere dos trozos pequeños de la Tierra, cada uno con masa
m, uno en el punto de la tierra más cercano al Sol, y el otro en el
punto más alejado del Sol. Demuestre que la razón de las fuerzas
gravitacionales del Sol sobre estas dos masas es
Fcercana
= 1.00171.
Flejana s
c) Demuestre que la razón de la fuerza gravitacional promedio del Sol
sobre la Tierra, comparada con la de la Luna, es
FS
= 178.
FM prom
Advierta que la fuerza más pequeña de la Luna varía mucho más a través
del diámetro terrestre que la fuerza más grande del Sol. d) Estime la
“diferencia en la fuerza” resultante (la causa de las mareas)
Fcercana Fcercana
ΔF = Fcercana – Flejana = Flejana – 1 ≈ Favg
– 1
Flejana Flejana
para la Luna y para el Sol. Demuestre que el cociente de la diferencia
de fuerzas que causan las mareas debida a la luna respecto de la
diferencia de fuerzas debida al sol es
ΔFM
≈ 2.3
ΔFS
De manera que la influencia de la Luna sobre la producción de las mareas
es más de dos veces mayor que la influencia del Sol.
Get solution
76.
Una partícula es soltada a una altura rE (radio de la Tierra) por
arriba de la superficie terrestre. Determine su velocidad cuando golpee
la Tierra. Desprecie la resistencia del aire. [Sugerencia: Use la
segunda ley de Newton, la ley de la gravitación universal, la regla de
la cadena e integre].
Get solution
77.
Estime el valor de la constante gravitacional G en la ley de Newton de
la gravitación universal usando los siguientes datos: la aceleración
debida a la gravedad en la superficie terrestre es de aproximadamente 10
m/s2; la Tierra tiene una circunferencia aproximada de 40 X 106 m; las
piedras encontradas en la superficie terrestre por lo general tienen
densidades de aproximadamente 3000 kg/m3 y se supone que esta densidad
se mantiene constante (aun cuando usted piense que no es verdad).
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78.
Entre las órbitas de Marte y Júpiter, se mueven varios miles de
pequeños objetos llamados asteroides en trayectorias casi circulares
alrededor del Sol. Considere un asteroide de forma esférica con radio r y
densidad de 2700 kg/m3. a) Usted mismo se encuentra en la superficie de
dicho asteroide y lanza una pelota de béisbol con una rapidez de 22 m/s
(aproximadamente 50 mi/h). Si la pelota de béisbol viaja alrededor del
asteroide en una órbita circular, ¿cuál sería el radio máximo del
asteroide para el cual usted sería capaz de completar esta hazaña? b)
Después de que usted lanza la pelota, gira sobre sus talones y queda de
frente en el sentido opuesto y atrapa la pelota. ¿Cuánto tiempo T
transcurriría entre el lanzamiento y la atrapada?
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79.
(II) La siguiente tabla muestra los datos de las distancias medias de
los planetas (excepto Plutón) al Sol en nuestro Sistema Solar, y sus
periodos de revolución alrededor del Sol.
Planeta Distancia media (AU) Periodo (años)
Mercurio 0.387 0.241
Venus 0.723 0.615
Tierra 1.000 1.000
Marte 1.524 1.881
Júpiter 5.203 11.88
Saturno 9.539 29.46
Urano 19.18 84.01
Neptuno 30.06 164.8
a) Grafique el cuadrado de los periodos como una función del cubo de las
distancias promedio, y encuentre la recta de mejor ajuste. b) Si el
periodo de Plutón es de 247.7 años, estime la distancia media de Plutón
desde el Sol a partir del mejor ajuste lineal.
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