Física Para Ciencias e Ingeniería de Giancoli -Soluciones: Física de Giancoli - 4ta edición - Capítulo 15

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1. (I) Un pescador nota que las crestas de las olas pasan por la quilla de su bote anclado cada 3.0 s. El pescador hace una medición y determina que la distancia entre dos crestas es de 8.0 m. ¿Qué tan rápido viajan las olas?
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2. (I) Una onda sonora en el aire tiene una frecuencia de 262 Hz y viaja con una rapidez de 343 m/s. ¿Qué tan separadas están las crestas de la onda (las compresiones)?
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3. (I) Calcule la rapidez de ondas longitudinales en a) agua, b) granito y c) acero.
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4. (I) Las señales de radio de AM tienen frecuencias entre 550 kHz y 1600 kHz (kilohertz) y viajan con una rapidez de 3.0 X 108 m/s. ¿Cuáles son las longitudes de onda de estas señales? En FM las frecuencias varían de 88 MHz a 108 MHz (megahertz) y viajan con la misma rapidez que las de AM. ¿Cuáles son sus longitudes de onda?
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5. (I) Determine la longitud de onda de una onda sonora de 5800 Hz que viaja a lo largo de una varilla de hierro.
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6. (II) Una cuerda de 0.65 kg de masa se estira entre dos soportes separados 8.0 m. Si la tensión en la cuerda es de 140 N, ¿cuánto tiempo tardará un pulso en viajar de un soporte al otro?
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7. (II) Una cuerda de 0.40 kg se estira entre dos soportes, separados 7.8 m. Cuando un soporte se golpea con un martillo, una onda transversal viaja por la cuerda y alcanza el otro soporte en 0.85 s. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
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8. (II) Un marino golpea el lado de su barco justo debajo de la superficie del mar. 2.8 s más tarde escucha el eco de la onda reflejada en el lecho del océano directamente abajo. ¿Cuál es la profundidad del océano en ese punto?
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9. (II) Una góndola de esquiar está conectada a lo alto de una colina mediante un cable de acero de 660 m de longitud y 1.5 cm de diámetro. Conforme la góndola llega al extremo de su recorrido, rebota en la terminal y envía un pulso de onda a lo largo del cable. Se observa que el pulso tarda 17 s en regresar. a) ¿Cuál es la rapidez del pulso? b) ¿Cuál es la tensión en el cable?
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10. (II) Las ondas P y S de un terremoto viajan con diferentes rapideces, y esta diferencia ayuda a ubicar el “epicentro” del terremoto (donde tuvo lugar la perturbación). a) Suponiendo rapideces típicas de 8.5 km/s y 5.5 km/s para las ondas P y S, respectivamente, ¿qué tan lejos ocurrió el terremoto si una estación sísmica particular detecta la llegada de estos dos tipos de onda con una diferencia de 1.7 min? b) ¿Es suficiente una estación sísmica para determinar la ubicación del epicentro? Explique.
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11. (II) La onda en una cuerda que se muestra en la figura 15-33 se mueve hacia la derecha con una rapidez de 1.10 m/s. a) Dibuje la forma de la cuerda 1.00 s después e indique cuáles partes de la cuerda se mueven hacia arriba y cuáles hacia abajo en ese instante. b) Estime la rapidez vertical del punto A sobre la cuerda en el instante que se muestra en la figura.
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12. (II) Una bola de 5.0 kg cuelga de un alambre de acero de 1.00 mm de diámetro y 5.00 m de largo. ¿Cuál sería la rapidez de una onda en el alambre de acero?
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13. (II) Dos niños se envían señales a lo largo de una cuerda con masa total de 0.50 kg; la cuerda está amarrada, en cada uno de sus extremos, a una lata de aluminio con una tensión de 35 N. Las vibraciones en la cuerda tardan 0.50 s en viajar de un niño al otro. ¿A qué distancia están los niños entre sí?
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14. (II) Análisis dimensional. Las olas en la superficie del océano no dependen significativamente de las propiedades del agua, como la densidad o la tensión superficial. La principal “fuerza de retorno” para el agua apilada en las crestas de las olas se debe a la atracción gravitacional de la Tierra. Por lo tanto, la rapidez v (m/s) de las olas oceánicas depende de la aceleración de la gravedad g. Es razonable esperar que v también dependa de la profundidad del agua h y de la longitud de onda λ de la ola. Suponga que la rapidez de la ola está dada por la forma funcional v = Cgαhβλγ, donde α, β, γ y C son cantidades adimensionales. a) En aguas profundas, el agua por debajo no afecta el movimiento de las olas en la superficie; por ende, v debe ser independiente de la profundidad h (es decir, β = 0). Utilizando sólo análisis dimensional (sección 1-7), determine una expresión para la rapidez de las olas superficiales en aguas profundas. b) En aguas poco profundas, experimentalmente se encuentra que la rapidez de las olas superficiales es independiente de la longitud de onda (es decir, γ = 0). Utilizando sólo análisis dimensional, determine una expresión para la rapidez de las olas en aguas poco profundas.
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15. (I) Dos ondas sísmicas de la misma frecuencia viajan a través de la misma porción de la Tierra, pero una porta 3.0 veces la energía de la otra. ¿Cuál es la razón de las amplitudes de las dos ondas?
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16. (II) ¿Cuál es la razón de a) las intensidades y b) las amplitudes de una onda sísmica P que pasa a través de la Tierra y se detecta en dos puntos a 15 y 45 km de la fuente.
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17. (II) Demuestre que, si se ignora el amortiguamiento, la amplitud A de las ondas circulares en el agua disminuye como la raíz cuadrada de la distancia r desde la fuente: A ∞ 1/ r.
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18. (II) La intensidad de una onda sísmica que pasa a través de la Tierra se mide en 3.0 X 106 J/m2 s a una distancia de 48 km desde la fuente. a) ¿Cuál fue la intensidad cuando pasó por un punto ubicado a sólo 1.0 km de la fuente? b) ¿A qué tasa pasó la energía a través de una área de 2.0 m2 a 1.0 km?
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19. (II) Un pequeño alambre de acero, de 1.0 mm de diámetro, se conecta a un oscilador y está bajo una tensión de 7.5 N. La frecuencia del oscilador es de 60.0 Hz y se observa que la amplitud de la onda en el alambre de acero es de 0.50 cm. a) ¿Cuál es la salida de potencia del oscilador, suponiendo que la onda no se refleja? b) Si la salida de potencia permanece constante pero la frecuencia se duplica, ¿cuál es la amplitud de la onda?
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20. (II) Demuestre que la intensidad de una onda es igual a la densidad de energía (energía por unidad de volumen) en la onda por la rapidez de la onda.
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21. (II) a) Demuestre que la tasa promedio con la que la energía se transporta a lo largo de una cuerda mediante una onda mecánica de frecuencia f y amplitud A es P = 2П2 µvf2 A2, donde v es la rapidez de la onda y µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda. b) Si la cuerda está bajo una tensión FT = 135 N y tiene 0.10 kg/m de masa por unidad de longitud, ¿qué potencia se requiere para transmitir ondas transversales de 120 Hz y de 2.0 cm de amplitud?
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22. (I) Una onda transversal en un alambre está dada por D(x, t) = 0.015 sen(25x – 1200t), donde D y x están en metros y t en segundos. a) Escriba una expresión para una onda con la misma amplitud, longitud de onda y frecuencia, pero que viaja en la dirección opuesta. b) ¿Cuál es la rapidez de cualquiera de las dos ondas?
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23. (I) Suponga que, en t = 0, un perfil de onda se representa mediante D = A sen(2Пx/λ + ɸ); esto es, difiere de la ecuación 15-9 por un factor de fase constante ɸ. Entonces, ¿cuál será la ecuación para una onda que viaja hacia la izquierda a lo largo del eje x, como función de x y t?
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24. (II) Una onda viajera transversal en una cuerda se representa mediante D = 0.22 sen(5.6x + 34t), donde D y x están en metros y t en segundos. Para esta onda, determine a) la longitud de onda, b) la frecuencia, c) la velocidad (magnitud y dirección), d) la amplitud y e) las rapideces máxima y mínima de las partículas de la cuerda.
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25. (II) Considere el punto x = 1.00 m en la cuerda del ejemplo 15-5. Determine a) la velocidad máxima de este punto y b) su aceleración máxima. c) ¿Cuál es su velocidad y aceleración en t = 2.50 s?
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26. (II) Una onda transversal en una cuerda está dada por D(x, t) = 0.12 sen(3.0x – 15.0t), donde D y x están en m y t en s. En t = 0.20 s, ¿cuáles son el desplazamiento y la velocidad de un punto de la cuerda en x = 0.60 m?
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27. (II) Un pulso de onda transversal viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda, con una rapidez v = 2.0 m/s. En t = 0, la forma del pulso está dada por la función D = 0.45 cos(2.6x + 1.2), donde D y x están en metros. a) Grafique D versus x en t = 0. b) Determine una fórmula para el pulso de onda en cualquier tiempo t, suponiendo que no hay pérdidas por fricción. c) Grafique D(x, t) versus x en t = 1.0 s. d) Repita las partes b) y c) suponiendo que el pulso viaja hacia la izquierda. Elabore las tres gráficas sobre los mismos ejes para una fácil comparación.
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28. (II) Una onda longitudinal de 524 Hz en el aire tiene una rapidez de 345 m/s. a) ¿Cuál es la longitud de onda? b) ¿Cuánto tiempo se requiere para que la fase cambie 90° en un punto dado en el espacio? c) En un instante particular, ¿cuál es la diferencia de fase (en grados) entre dos puntos separados 4.4 cm?
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29. (II) Escriba la ecuación para la onda del problema 28 que viaja hacia la derecha, si su amplitud es de 0.020 cm y D = –0.020 cm en t = 0 y x = 0.
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30. (II) Una onda sinusoidal que viaja en una cuerda en la dirección x negativa tiene 1.00 cm de amplitud, 3.00 cm de longitud de onda y 245 Hz de frecuencia. En t = 0, la partícula de cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento D = 0.80 cm sobre el origen y se mueve hacia arriba. a) Bosqueje la forma de la onda en t = 0 y b) determine la función de x y t que describe la onda.
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31. (II) Determine si la función D = A sen kx cos ωt es una solución de la ecuación de onda.
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32. (II) Demuestre por sustitución directa que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: a) D(x, t) = A ln(x + vt); b) D(x, t) = (x – vt)4.
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33. (II) Demuestre que las formas de onda de las ecuaciones 15-13 y 15-15 satisfacen la ecuación de onda, ecuación 15-16.
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34. (II) Sean dos ondas lineales representadas por D1 = f1(x, t) y D2 = f2(x, t). Si estas dos ondas satisfacen la ecuación de onda (ecuación 15-16), demuestre que cualquier combinación D = C1D1 + C2D2 también lo hace, donde C1 y C2 son constantes.
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35. (II) ¿La función D(x, t) = e–(kx – ωt)2 satisface la ecuación de onda? ¿Por qué?
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36. (II) En la obtención de la ecuación 15-2, v = FT/µ, para la rapidez de una onda transversal en una cuerda, se supuso que la amplitud de la onda A es mucho menor que su longitud de onda λ. Suponiendo una forma de onda sinusoidal D = A sen(kx – ωt), demuestre por medio de la derivada parcial v’ = ∂D/∂t que la suposición A << λ implica que la máxima rapidez transversal v’máx de la cuerda es mucho menor que la velocidad de la onda. Si A = λ/100, determine la razón v’máx/v.
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37. (II) Una cuerda tiene dos secciones con densidades lineales de 0.10 kg/m y 0.20 kg/m, figura 15-34. Una onda incidente, dada por D = (0.050 m) sen(7.5x – 12.0t), donde x está en metros y t en segundos, viaja a lo largo de la cuerda más ligera. a) ¿Cuál es la longitud de onda sobre la sección más ligera de la cuerda? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? c) ¿Cuál es la longitud de onda cuando la onda viaja sobre la sección más pesada?
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38. (II) Considere una onda seno que viaja por la cuerda estirada de dos partes en la figura 15-19. Determine una expresión a) para la razón de las rapideces de la onda en las dos secciones, vH/vL, y b) para la razón de las longitudes de onda en las dos secciones. (La frecuencia es la misma en ambas secciones. ¿Por qué?) c) ¿La longitud de onda es mayor en la cuerda más pesada o en la más ligera?
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39. (II) La prospección de reflexión sísmica se usa normalmente para trazar mapas de formaciones enterradas profundamente que contienen petróleo. En esta técnica, una onda sísmica generada en la superficie de la Tierra (por ejemplo, mediante una explosión o un peso que cae) se refleja en la formación bajo la superficie y se detecta a su regreso a nivel del suelo. Al colocar detectores a nivel del suelo en varias posiciones relativas a la fuente y observar la variación en los tiempos de recorrido de la fuente al detector, se puede determinar la profundidad de la formación bajo la superficie. a) Suponga que un detector a nivel del suelo se coloca a una distancia x de una fuente de ondas sísmicas y que a una profundidad D existe una frontera horizontal entre la roca subyacente y la formación bajo la superficie (figura 15-35a). Determine una expresión para el tiempo t que la onda reflejada tarda en viajar de la fuente al detector, suponiendo que la onda sísmica se propaga con rapidez constante v. b) Suponga que a lo largo de una línea se colocan muchos detectores a diferentes distancias x de la fuente, como en la figura 15-35b. Luego, cuando se genera una onda sísmica, se miden los diferentes tiempos de trayecto t para cada detector. Comenzando con su resultado de la parte a), explique cómo se puede usar un gráfica de t2 versus x2 para determinar D.
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40. (III) Una cuerda estirada a una tensión FT consta de dos secciones (como en la figura 15-19), cuyas densidades lineales son µ1 y µ2. Tome x = 0 como el punto (un nudo) donde se unen, con µ1 la densidad lineal en la sección izquierda de la cuerda y µ2 en la sección de la derecha. Una onda sinusoidal, D = A sen[k1(x – v1t)], parte del extremo izquierdo de la cuerda. Cuando llega al nudo, una parte se refleja y otra parte se transmite. Sean DR = AR sen[k1(x + v1t)] la ecuación de la onda reflejada y DT = AT sen[k2(x – v2t)] la ecuación de la onda transmitida. Dado que la frecuencia debe ser la misma en ambas secciones, tenemos ω1 = ω2 o k1v1 = k2v2. a) Puesto que la cuerda es continua, un punto a una distancia infinitesimal a la izquierda del nudo tiene el mismo desplazamiento en cualquier momento (debido a la onda incidente más la reflejada) que un punto justo a la derecha del nudo (debido a la onda transmitida). Demuestre que A = AT + AR. b) Suponiendo que la pendiente (∂D/∂x) de la cuerda justo a la izquierda del nudo es la misma que la pendiente justo a la derecha del nudo, demuestre que la amplitud de la onda reflejada está dada por v1 – v2 k2 – k1 AR = A = A. v1 + v2 k2 + k1 c) ¿Cuál es AT en términos de A?
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41. (I) Los dos pulsos que se muestran en la figura 15-36 se mueven uno hacia el otro. a) Bosqueje la forma de la cuerda en el momento cuando se traslapan directamente. b) Bosqueje la forma de la cuerda algunos momentos después. c) En la figura 15-22a, en el momento cuando los pulsos pasan uno sobre el otro, la cuerda está recta. ¿Qué ocurrió con la energía en ese momento?
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42. (II) Suponga que dos ondas lineales de igual amplitud y frecuencia tienen una diferencia de fase ɸ mientras viajan en el mismo medio. Las ondas se representan mediante D1 = A sen(kx - ωt) D2 = A sen(kx - ωt + ɸ). a) Use la identidad trigonométricas en ɵ1 + sen ɵ2 = 2 sen ½ (ɵ1 + ɵ2) cos ½ (ɵ1 - ɵ2) para demostrar que la onda resultante está dada por ɸ ɸ D = 2A cos sen kx – ωt + . 2 2 b) ¿Cuál es la amplitud de esta onda resultante? ¿La onda es meramente sinusoidal o no? c) Demuestre que ocurre interferencia constructiva si ɸ = 0, 2П, 4П, etcétera, y que ocurre interferencia destructiva si ɸ = П, 3П, 5П, etcétera. d) Describa la onda resultante, mediante una ecuación y en palabras, si ɸ = П/2.
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43. (I) Una cuerda de violín vibra a 441 Hz cuando no se presiona con el dedo. ¿A qué frecuencia vibrará si se pulsa a un tercio del camino desde el extremo? (Es decir, sólo dos tercios de la cuerda vibran como onda estacionaria).
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44. (I) Si una cuerda de violín vibra a 294 Hz como su frecuencia fundamental, ¿cuáles son las frecuencias de los primeros cuatro armónicos?
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45. (I) En un terremoto se nota que un puente peatonal oscila de arriba a abajo en un patrón de un solo bucle (onda estacionaria fundamental) cada 1.5 s. ¿Qué otros posibles periodos de movimiento resonantes hay para este puente peatonal? ¿A qué frecuencias corresponden?
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46. (I) Una cuerda particular resuena en cuatro bucles a una frecuencia de 280 Hz. Mencione al menos otras tres frecuencias a las que resonará.
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47. (II) Una cuerda de 1.0 m de largo tiene dos secciones de igual longitud, con densidades lineales de 0.50 kg/m y 1.00 kg/m. La tensión en toda la cuerda es constante. Los extremos de la cuerda oscilan de manera que en ella se establece una onda estacionaria con un solo nodo donde se unen las dos secciones. ¿Cuál es la razón de las frecuencias oscilatorias?
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48. (II) La velocidad de las ondas en una cuerda es 96 m/s. Si la frecuencia de las ondas estacionarias es de 445 Hz, ¿cuán separados están los dos nodos adyacentes?
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49. (II) Si dos armónicos sucesivos de una cuerda en vibración son 240 Hz y 320 Hz, ¿cuál es la frecuencia del modo fundamental?
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50. (II) Una cuerda de guitarra mide 90.0 cm de largo y tiene una masa de 3.16 g. Desde el puente hasta el poste de soporte (= ℓ) hay 60.0 cm y la cuerda está bajo una tensión de 520 N. ¿Cuáles son las frecuencias del modo fundamental y de los dos primeros sobretonos?
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51. (II) Demuestre que la frecuencia de las ondas estacionarias en una cuerda de longitud ℓ y densidad lineal µ, que se estira a una tensión FT, está dada por n FT f = 2ℓ µ donde n es un entero.
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52. (II) El extremo de una cuerda horizontal con densidad lineal de 6.6 X 10–4 kg/m se une a un pequeño oscilador mecánico de 120 Hz y amplitud pequeña. La cuerda pasa por una polea, a una distancia ℓ = 1.50 m, y de este extremo se cuelgan pesos, figura 15-37. ¿Qué masa m debe colgarse de este extremo de la cuerda para producir a) un bucle, b) dos bucles y c) cinco bucles de una onda estacionaria? Suponga que la cuerda en el oscilador es un nodo, lo que casi es cierto.
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53. (II) En el problema 52, figura 15-37, la longitud de la cuerda se puede ajustar al mover la polea. Si la masa colgante m se fija en 0.070 kg, ¿cuántos diferentes patrones de onda estacionaria se pueden lograr al variar ℓ entre 10 cm y 1.5 m?
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54. (II) El desplazamiento de una onda estacionaria en una cuerda está dado por D = 2.4 sen(0.60x) cos(42t), donde x y D están en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es la distancia (cm) entre nodos? b) Indique la amplitud, frecuencia y rapidez de cada una de las ondas componentes. c) Determine la rapidez de una partícula de la cuerda en x = 3.20 cm cuando t = 2.5 s.
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55. (II) El desplazamiento de una onda transversal que viaja por una cuerda está representado por D1 = 4.2 sen(0.84x – 47t + 2.1), donde D1 y x están en centímetros y t en segundos. a) Encuentre una ecuación que represente una onda que, cuando viaje en la dirección opuesta, produzca una onda estacionaria cuando se sume a la primera onda. b) ¿Cuál es la ecuación que describe la onda estacionaria?
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56. (II) Cuando usted agita el agua de ida y vuelta en una tina justo a la frecuencia correcta, el agua se eleva y cae de manera alternada en cada extremo, y permanece relativamente en calma en el centro. Suponga que la frecuencia para producir tal onda estacionaria en una tina de 45 cm de ancho es 0.85 Hz. ¿Cuál es la rapidez de la onda del agua?
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57. (II) Una cuerda de violín particular toca a una frecuencia de 294 Hz. Si la tensión aumenta en un 15%, ¿cuál será la nueva frecuencia?
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58. (II) Dos ondas viajeras se describen mediante las funciones D1 = A sen(kx - ωt) D2 = A sen(kx + ωt), donde A = 0.15 m, k = 3.5 m–1 y ω = 1.8 s–1. a) Grafique estas dos ondas desde x = 0 hasta un punto x (> 0) que incluya una longitud de onda completa. Elija t = 1.0 s. b) Grafique la suma de las dos ondas e identifique los nodos y antinodos en la gráfica, y compare con la representación analítica (matemática).
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59. (II) Grafique las dos ondas dadas en el problema 58 y su suma, como función del tiempo, desde t = 0 hasta t = T (un periodo). Elija a) x = 0 y b) x = λ/4. Interprete sus resultados.
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60. (II) Una onda estacionaria en una cuerda horizontal de 1.64 m de largo despliega tres bucles cuando la cuerda vibra a 120 Hz. El máximo balanceo de la cuerda (de la parte superior a la inferior) en el centro de cada bucle es de 8.00 cm. a) ¿Cuál es la función que describe esta onda estacionaria? b) ¿Cuáles son las funciones que describen las dos ondas de igual amplitud, que viajan en direcciones opuestas y que conforman la onda estacionaria?
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61. (II) En una guitarra eléctrica, un “captador” bajo cada cuerda transforma las vibraciones de la cuerda directamente en una señal eléctrica. Si se coloca un captador a 16.25 cm de uno de los extremos fijos de una cuerda de 65.00 cm de largo, ¿cuál de los armónicos, de n = 1 a n = 12, no será “captado” por el dispositivo?
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62. (II) Una cuerda de guitarra de 65 cm está fija en ambos extremos. En el rango de frecuencias entre 1.0 y 2.0 kHz, la cuerda sólo resuena a frecuencias de 1.2, 1.5 y 1.8 kHz. ¿Cuál es la rapidez de las ondas viajeras en esta cuerda?
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63. (II) Dos ondas viajeras dirigidas en sentidos opuestos, dadas por D1 = (5.0 mm) cos[(2.0 m–1)x – (3.0 rad/s)t] y D2 = (5.0 mm) cos[(2.0 m–1)x + (3.0 rad/s)t] forman una onda estacionaria. Determine la posición de los nodos a lo largo del eje x.
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64. (II) Un alambre está compuesto de aluminio con longitud ℓ1 = 0.600 m y masa por unidad de longitud µ1 = 2.70 g/m, y está unido a una sección de acero con longitud ℓ2 = 0.882 m y masa por unidad de longitud µ2 = 7.80 g/m. Este alambre compuesto está fijo en ambos extremos y se mantiene a una tensión uniforme de 135 N. Encuentre la onda estacionaria de frecuencia más baja que pueda existir en este alambre, suponiendo que hay un nodo en la unión entre el aluminio y el acero. ¿Cuántos nodos (incluidos los dos en los extremos) posee esta onda estacionaria?
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65. (I) Una onda sísmica P, que viaja a 8.0 km/s, golpea una frontera dentro de la Tierra entre dos tipos de material. Si la onda se aproxima a la frontera con un ángulo incidente de 52° y el ángulo de refracción es de 31°, ¿cuál es la rapidez de la onda en el segundo medio?
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66. (I) En el agua se aproximan ondas a una “repisa” submarina donde la velocidad cambia de 2.8 m/s a 2.5 m/s. Si las crestas de la onda incidente forman un ángulo de 35° con la repisa, ¿cuál será el ángulo de refracción?
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67. (II) Una onda sonora viaja en aire caliente (25°C) cuando golpea una capa de aire frío (–15°C) más denso. Si la onda sonora golpea la interfaz de aire frío a un ángulo de 33°, ¿cuál es el ángulo de refracción? La rapidez del sonido como función de la temperatura se aproxima mediante v = (331 + 0.60T) m/s, donde T está en °C.
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68. (II) Cualquier tipo de onda que llega a una frontera, más allá de la cual aumenta su rapidez, tiene un ángulo incidente máximo si debe transmitirse una onda refractada. Este ángulo incidente máximo ɵiM corresponde a un ángulo de refracción igual a 90°. Si ɵi > ɵiM, toda la onda se refleja en la frontera y ninguna se refracta, puesto que esto correspondería a sen ɵr > 1 (donde ɵr es el ángulo de refracción), lo que es imposible. Este fenómeno se conoce como reflexión total interna. a) Encuentre una expresión para ɵiM usando la ley de refracción, ecuación 15-19. b) ¿A qué distancia del banco debe colocarse un pescador de truchas (figura 15-38) de manera que las truchas no se asusten con su voz? La rapidez del sonido es aproximadamente 343 m/s en el aire y 1440 m/s en el agua.
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69. (II) Una onda sísmica longitudinal golpea una frontera entre dos tipos de roca a un ángulo de 38°. Conforme la onda cruza la frontera, la gravedad específica de la roca cambia de 3.6 a 2.8. Suponiendo que el módulo elástico es el mismo para ambos tipos de roca, determine el ángulo de refracción.
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70. (II) Una antena satelital mide aproximadamente 0.5 m de diámetro. De acuerdo con el manual del usuario, la antena tiene que apuntarse en la dirección del satélite, pero se permite un error de unos 2° en cualquier dirección sin pérdida de recepción. Estime la longitud de onda de las ondas electromagnéticas (rapidez = 3 X 108 m/s) recibidas por la antena.
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71. Una onda viajera sinusoidal tiene 880 Hz de frecuencia y 440 m/s de velocidad de fase. a) En un tiempo dado, encuentre la distancia entre cualesquiera dos ubicaciones que correspondan a una diferencia de fase de П/6 rad. b) En una ubicación fija, ¿por cuánto cambia la fase durante un intervalo de tiempo de 1.0 X 10–4 s?
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72. Cuando usted camina sosteniendo una taza de café (8 cm de diámetro) justo al ritmo correcto de aproximadamente un paso por segundo, el café sube cada vez más en su taza hasta que finalmente comienza a derramarse por el borde superior, figura 15-39. Estime la rapidez de las ondas en el café.
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73. Dos varillas sólidas tienen el mismo módulo volumétrico, pero una es 2.5 veces más densa que la otra. ¿En cuál varilla será mayor la rapidez de las ondas longitudinales y en qué factor?
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74. Dos ondas que viajan a lo largo de una cuerda estirada tienen la misma frecuencia, pero una transporta 2.5 veces la potencia de la otra. ¿Cuál es la razón de las amplitudes de las dos ondas?
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75. Un insecto en la superficie de un estanque se mueve hacia arriba y abajo una distancia vertical total de 0.10 m, del punto más bajo al punto más alto, conforme pasa una onda. a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? b) Si la amplitud aumenta a 0.15 m, ¿en qué factor cambia la energía cinética máxima del insecto?
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76. Se supone que una cuerda de guitarra debe vibrar a 247 Hz; se hace una medición y se determina que en realidad vibra a 255 Hz. ¿En qué porcentaje se debe cambiar la tensión en la cuerda para llevar la frecuencia al valor correcto?
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77. Una onda superficial producida por un terremoto se puede aproximar mediante una onda transversal sinusoidal. Suponiendo una frecuencia de 0.60 Hz (típica de los terremotos, que en realidad incluyen una mezcla de frecuencias), ¿qué amplitud se necesita de manera que los objetos comiencen a perder contacto con el suelo? [Sugerencia: Considere que la aceleración a > g].
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78. Una cuerda uniforme de longitud ℓ y masa m cuelga verticalmente de un soporte. a) Demuestre que la rapidez de las ondas transversales en esta cuerda es gh, donde h es la altura sobre el extremo inferior. b) ¿Cuánto tarda un pulso en viajar hacia arriba desde un extremo al otro?
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79. Un pulso de onda transversal viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda, con una rapidez v = 2.4 m/s. En t = 0 la forma del pulso está dada por la función 4.0 m3 D = , x2 + 2.0 m2 donde D y x están en metros. a) Grafique D versus x en t = 0, desde x = –10 m hasta x = +10 m. b) Determine una fórmula para el pulso de onda en cualquier tiempo t, suponiendo que no hay pérdidas por fricción. c) Grafique D(x, t) versus x en t = 1.00 s. d) Repita las partes b) y c) suponiendo que el pulso viaja hacia la izquierda.
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80. a) Demuestre que, si la tensión en una cuerda estirada cambia por una pequeña cantidad ΔFT, la frecuencia del modo fundamental cambia por una cantidad Δf = ½ (ΔFT/FT)f. b) ¿En qué porcentaje debe aumentar o disminuir la tensión en una cuerda de piano para elevar la frecuencia de 436 Hz a 442 Hz? c) ¿La fórmula de la parte a) se aplica también a los sobretonos?
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81. Dos cuerdas en un instrumento musical se afinan para tocar a 392 Hz (sol) y 494 Hz (si). a) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros dos sobretonos para cada cuerda? b) Si las dos cuerdas tienen la misma longitud y están bajo la misma tensión, ¿cuál debe ser la razón de sus masas (msol/msi)? c) Si, en vez de ello, las cuerdas tienen la misma masa por unidad de longitud y están bajo la misma tensión, ¿cuál es la razón de sus longitudes (ℓsol/ℓsi)? d) Si sus masas y longitudes son las mismas, ¿cuál debe ser la razón de las tensiones en las dos cuerdas?
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82. Las ondas en cierto surco a 10.8 cm del centro de un disco de fonógrafo de 33 rpm tienen una longitud de onda de 1.55 mm. ¿Cuál será la frecuencia del sonido emitido?
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83. Un alambre de 10.0 m de largo y 152 g de masa se estira bajo una tensión de 255 N. En un extremo se genera un pulso y, 20.0 ms después, en el otro extremo se genera un segundo pulso. ¿Dónde se encontrarán los dos pulsos por primera vez?
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84. Una onda, con una frecuencia de 220 Hz y una longitud de onda de 10.0 cm, viaja a lo largo de una cuerda. La máxima rapidez de las partículas en la cuerda es la misma que la rapidez de la onda. ¿Cuál es la amplitud de la onda?
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85. Una cuerda puede tener un extremo “libre” si ese extremo se une a un anillo que pueda deslizarse sin fricción sobre un poste vertical (figura 15-40). Determine las longitudes de onda de las vibraciones resonantes de tal cuerda con un extremo fijo y el otro libre.
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86. Se observa que un puente sobre una autopista resuena como un bucle completo (½λ) cuando un pequeño terremoto sacude el suelo verticalmente a 3.0 Hz. El departamento de caminos coloca un soporte en el centro del puente y lo ancla al suelo como se muestra en la figura 15-41. ¿Qué frecuencia resonante esperaría usted ahora para el puente? Se nota que rara vez los terremotos tienen sacudidas significativas arriba de 5 o 6 Hz. ¿Las modificaciones en el puente son buenas? Explique.
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87. La figura 15-42 muestra la forma de onda en dos instantes de tiempo para una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha. ¿Cuál es la representación matemática de esta onda?
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88. Estime la potencia promedio de una ola cuando golpea el pecho de un adulto que está de pie dentro del agua en la playa. Suponga que la amplitud de la ola es de 0.50 m, la longitud de onda es 2.5 m y el periodo es 4.0 s.
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89. Un tsunami, con 215 km de longitud de onda y 550 km/h de velocidad, viaja a través del Océano Pacífico. Conforme se aproxima a Hawai, las personas observan un inusual descenso en el nivel del mar en los muelles. ¿Aproximadamente cuánto tiempo tienen para correr y ponerse a salvo? (En ausencia de conocimiento y advertencia, las personas mueren durante los tsunamis, algunas de ellas atraídas a la playa para ver los peces y botes varados).
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90. Dos pulsos de onda viajan en direcciones opuestas con la misma rapidez de 7.0 cm/s, como se ilustra en la figura 15-43. En t = 0, los bordes frontales de los dos pulsos están separados 15 cm. Bosqueje los pulsos de onda en t = 1.0, 2.0 y 3.0 s.
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91. Para una onda esférica que viaja uniformemente alejándose de una fuente puntual, demuestre que el desplazamiento se representa mediante A D = sin(kr - ωt), r donde r es la distancia radial desde la fuente y A es una constante.
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92. ¿Qué frecuencia de sonido tendría una longitud de onda del mismo tamaño que una ventana de 1.0 m de ancho? (La rapidez del sonido es 344 m/s a 20°C.) ¿Qué frecuencias se difractarían a través de la ventana?
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93. (II) Considere una onda generada por la vibración periódica de una fuente, dada por la expresión D(x, t) = A sen2 k(x – ct), donde x representa la posición (en metros), t representa el tiempo (en segundos) y c es una constante positiva. Elegimos A = 5.0 m y c = 0.50 m/s. Use una hoja de cálculo para hacer una gráfica con tres curvas de D(x, t) desde x = –5.0 m hasta +5.0 m en aumentos de 0.050 m en los tiempos t = 0.0, 1.0 y 2.0 s. Determine la rapidez, la dirección de movimiento, el periodo y la longitud de onda de la onda.
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94. (II) El desplazamiento de un pulso de onda con forma de campana se describe mediante una relación que implica la función exponencial: D(x, t) = Ae–α(x-vt)2 donde las constantes A = 10.0 m, α = 2.0 m–2 y v = 3.0 m/s. a) Sobre el rango –10.0 m < x < +10.0 m, use una calculadora gráfica o un programa de computadora para graficar D(x, t) en cada uno de los tres tiempos t = 0, t = 1.0 y t = 2.0 s. ¿Demuestran estas tres gráficas la forma de pulso de onda que se mueve a lo largo del eje x por la cantidad esperada sobre el lapso de cada intervalo de 1.0 s? b) Repita la parte a) suponiendo que D(x, t) = Ae–α(x+vt)2.
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Física de Giancoli - 4ta edición - Capítulo 15 - Soluciones